Упр.109 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\sqrt{43+30\sqrt{2}}+\sqrt{43-30\sqrt{2}}$$.

Обозначим

$$x=\sqrt{43+30\sqrt2}+\sqrt{43-30\sqrt2}.$$

Тогда

$$x^2=\left(\sqrt{43+30\sqrt2}+\sqrt{43-30\sqrt2}\right)^2.$$

Раскроем квадрат суммы:

$$x^2=(43+30\sqrt2)+(43-30\sqrt2)+2\sqrt{(43+30\sqrt2)(43-30\sqrt2)}.$$

Сложим и перемножим подкоренные выражения:

$$x^2=86+2\sqrt{43^2-(30\sqrt2)^2}=86+2\sqrt{1849-1800}=86+2\sqrt{49}.$$

$$x^2=86+2\cdot 7=100.$$

Так как $$x>0,$$ то

$$x=\sqrt{100}=10.$$

Ответ: 10.