Упр.108 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна $$39$$, а сумма их обратных величин равна $$\frac{13}{27}$$.

Пусть $$b_1,\; b_2,\; b_3$$ — первые три члена геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, причём $$b_1>0,\; |q|<1.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2.$$

По условию

$$b_1+b_2+b_3=39,$$

то есть

$$b_1(1+q+q^2)=39.$$

Сумма обратных величин равна $$\frac{13}{27}$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\frac1{b_3}=\frac{13}{27}.$$

Подставим $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}=\frac{13}{27},$$

$$\frac{1+\frac1q+\frac1{q^2}}{b_1}=\frac{13}{27}.$$

Из первого равенства $$b_1=\frac{39}{1+q+q^2}$$, поэтому

$$\frac{1+\frac1q+\frac1{q^2}}{39/(1+q+q^2)}=\frac{13}{27}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$q^2$$:

$$\frac{q^2+q+1}{b_1q^2}=\frac{13}{27}.$$

Подставляя $$b_1=\frac{39}{1+q+q^2}$$, получаем

$$\frac{(q^2+q+1)^2}{39q^2}=\frac{13}{27}.$$

Отсюда

$$27(q^2+q+1)^2=507q^2,$$

$$9(q^2+q+1)^2=169q^2,$$

$$3(q^2+q+1)=13q,$$

так как $$q>0$$ для положительных членов прогрессии.

Получаем квадратное уравнение:

$$3q^2-10q+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$q_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad q_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q|<1$$, значит

$$q=\frac13.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{39}{1+\frac13+\frac19}=\frac{39}{\frac{13}{9}}=27.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac13}=\frac{27}{\frac23}=\frac{81}{2}=40{,}5.$$

Ответ

$$40{,}5$$