Упр.108 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 108. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна 13/27. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 108 1111

Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ — первые три члена геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad |q|<1.$$

По условию

$$b_1+b_2+b_3=39,$$

то есть

$$b_1(1+q+q^2)=39.$$

Сумма обратных величин равна $$\frac{13}{27}$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\frac1{b_3}=\frac{13}{27}.$$

Подставим $$b_2=b_1q$$ и $$b_3=b_1q^2$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}=\frac{13}{27},$$

$$\frac{1+q+q^2}{b_1q^2}=\frac{13}{27}.$$

Из первого равенства $$b_1=\frac{39}{1+q+q^2}$$. Подставим это во второе:

$$\frac{1+q+q^2}{\frac{39}{1+q+q^2}\,q^2}=\frac{13}{27},$$

$$\frac{(1+q+q^2)^2}{39q^2}=\frac{13}{27},$$

$$27(1+q+q^2)^2=507q^2,$$

$$3(1+q+q^2)^2=13q^2.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая и члены положительны, то $$0<q<1$$. Тогда из полученного уравнения подходит корень

$$q=\frac13.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{39}{1+\frac13+\frac19}=\frac{39}{\frac{13}{9}}=27.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac13}=\frac{27}{\frac23}=40{,}5.$$

Ответ

$$40{,}5$$