Упр.1067 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) pn/(pn+1) = 1/4;
2) (pn+2)/(pn+1) = 5;
3) pn/(pn-2) = 20;
4) (pn-1)/(pn+1) = 1/12.

1. $$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{4}$$

   Так как $$P_n=n!$$, то
   $$ \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{4}, \qquad \frac{1}{n+1}=\frac{1}{4}. $$
   Тогда
   $$ n+1=4,\qquad n=3. $$

2. $$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}=5$$

   Подставим $$P_n=n!$$:
   $$ \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=5, \qquad n+2=5. $$
   Отсюда
   $$ n=3. $$

3. $$\frac{P_n}{P_{n-2}}=20$$

   Имеем
   $$ \frac{n!}{(n-2)!}=20, \qquad n(n-1)=20. $$
   Тогда
   $$ n^2-n-20=0. $$
   Решим квадратное уравнение:
   $$ D=1+80=81, $$
   $$ n=\frac{1\pm 9}{2}. $$
   Получаем $$n=-4$$ или $$n=5$$. Так как $$n$$ — натуральное число, то
   $$ n=5. $$

4. $$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}}=\frac{1}{12}$$

   Подставим факториалы:
   $$ \frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{12}, \qquad \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{12}. $$
   Значит,
   $$ n(n+1)=12, $$
   $$ n^2+n-12=0. $$
   Тогда
   $$ D=1+48=49, $$
   $$ n=\frac{-1\pm 7}{2}. $$
   Получаем $$n=-4$$ или $$n=3$$. Подходит натуральное значение:
   $$ n=3. $$

Ответ

1) $$n=3$$; 2) $$n=3$$; 3) $$n=5$$; 4) $$n=3$$.