Упр.1067 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение относительно $$n$$:

1. $$\frac{p^n}{p^n+1}=\frac{1}{4}$$;
2. $$\frac{p^n+2}{p^n+1}=5$$;
3. $$\frac{p^n}{p^n-2}=20$$;
4. $$\frac{p^n-1}{p^n+1}=\frac{1}{12}$$.

1) $$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{4}$$

Так как $$P_n=n!$$, то

$$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{4}$$

$$n+1=4,\quad n=3$$

2) $$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}=5$$

$$\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=5$$

$$n+2=5,\quad n=3$$

3) $$\frac{P_n}{P_{n-2}}=20$$

$$\frac{n!}{(n-2)!}=20$$

$$n(n-1)=20$$

$$n^2-n-20=0$$

$$D=1+80=81$$

$$n_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}$$

$$n_1=-4,\quad n_2=5$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=5$$.

4) $$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}}=\frac{1}{12}$$

$$\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{12}$$

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{12}$$

$$n(n+1)=12$$

$$n^2+n-12=0$$

$$D=1+48=49$$

$$n_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$

$$n_1=-4,\quad n_2=3$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=3$$.

Ответ

1) $$n=3$$; 2) $$n=3$$; 3) $$n=5$$; 4) $$n=3$$.