Упр.1063 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр $$1, 2, 3, 4, 5$$ так, чтобы:
1) последней была цифра $$3$$;
2) первой была цифра $$4$$;
3) первой была цифра $$5$$, а второй — цифра $$1$$;
4) первой была цифра $$2$$, а последней — цифра $$4$$;
5) первыми были цифры $$3$$ и $$4$$, расположенные в любом порядке;
6) последними были цифры $$1$$ и $$2$$, расположенные в любом порядке?
1) Если последняя цифра — $$3$$, то остальные четыре цифры можно расставить на четырёх местах $$4!$$ способами:
$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
2) Если первая цифра — $$4$$, то оставшиеся четыре цифры также можно переставить $$4!$$ способами:
$$4! = 24$$
3) Если первая цифра — $$5$$, а вторая — $$1$$, то остаются три цифры, которые можно расставить $$3!$$ способами:
$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$
4) Если первая цифра — $$2$$, а последняя — $$4$$, то три оставшиеся цифры можно переставить $$3!$$ способами:
$$3! = 6$$
5) Если первыми стоят цифры $$3$$ и $$4$$ в любом порядке, то для них есть $$2!$$ вариантов, а оставшиеся три цифры можно расставить $$3!$$ способами:
$$2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$$
6) Если последними стоят цифры $$1$$ и $$2$$ в любом порядке, то для них есть $$2!$$ вариантов, а первые три цифры можно расставить $$3!$$ способами:
$$3! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12$$
Ответ: 1) $$24$$; 2) $$24$$; 3) $$6$$; 4) $$6$$; 5) $$12$$; 6) $$12$$.
