Упр.106 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $$b_2=-81$$, $$s_2=162$$; 2) $$b_2=-33$$, $$s_2=67$$; 3) $$b_1+b_2=130$$, $$b_1-b_3=120$$; 4) $$b_2+b_4=68$$, $$b_2-b_4=60$$.

Подробный ответ

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $$|q|<1$$, где $$q$$ — её знаменатель.

$$b_2=-81,\quad S_2=162$$
Так как $$S_2=b_1+b_2,$$ то
$$b_1-81=162,$$
откуда $$b_1=243.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-81}{243}=-\frac13,$$
следовательно, $$|q|=\frac13<1.$$ Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_2=33,\quad S_2=67$$
Имеем
$$b_1+b_2=67,$$
то есть
$$b_1+33=67,\qquad b_1=34.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{33}{34},$$
а значит, $$|q|=\frac{33}{34}<1.$$ Следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_1+b_2=130,\quad b_1-b_3=120$$
Пусть $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2.$$ Тогда
$$b_1+b_1q=130,$$
$$b_1-b_1q^2=120.$$
Из второго уравнения
$$b_1(1-q^2)=120,\qquad b_1=\frac{120}{1-q^2}.$$
Подставим в первое:
$$\frac{120}{1-q^2}+\frac{120q}{1-q^2}=130.$$
Умножим на $$1-q^2$$:
$$120+120q=130-130q^2,$$
$$13q^2+12q-1=0.$$
Решая квадратное уравнение, получаем:
$$q_1=\frac{1}{13},\qquad q_2=-1.$$
Значение $$q=-1$$ не подходит, так как тогда $$b_1+b_2=0,$$ что противоречит условию $$b_1+b_2=130.$$
Остаётся $$q=\frac{1}{13},$$ поэтому $$|q|=\frac{1}{13}<1.$$ Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_2+b_4=68,\quad b_2-b_4=60$$
Сложим уравнения:
$$2b_2=128,\qquad b_2=64.$$
Вычтем второе из первого:
$$2b_4=8,\qquad b_4=4.$$
Так как $$b_2=b_1q$$ и $$b_4=b_1q^3,$$ то
$$\frac{b_4}{b_2}=\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}.$$
Следовательно, $$|q|=\frac14<1.$$ Значит, прогрессия бесконечно убывающая.