Упр.1042 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1042 При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2 + рх, где р — заданное число, и прямой у = kx + 1, наименьшая? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1042 1111

Найдём площадь фигуры между параболой $$y=x^2+px$$ и прямой $$y=kx+1.$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2+px=kx+1,$$

то есть

$$x^2+(p-k)x-1=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(p-k)^2+4.$$

Тогда

$$x_1=\frac{k-p-\sqrt{D}}{2}, \qquad x_2=\frac{k-p+\sqrt{D}}{2}.$$

Площадь равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+px)\bigr)\,dx.$$

После вычислений получаем

$$S=\frac16\sqrt{(p-k)^2+4}\,\bigl((p-k)^2+4\bigr).$$

Обозначим

$$t=(p-k)^2+4,\qquad t\ge 4.$$

Тогда

$$S(t)=\frac16\,t\sqrt{t}=\frac16\,t^{3/2}.$$

Так как при $$t\ge 4$$ функция $$t^{3/2}$$ возрастает, то наименьшее значение площади достигается при наименьшем возможном $$t$$, то есть при

$$t=4.$$

Отсюда

$$ (p-k)^2=0,\qquad k=p.$$

Ответ

$$k=p.$$