Упр.1042 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каком значении $$k$$ площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=-x^2+px$$, где $$p$$ — заданное число, и прямой $$y=kx+1$$, наименьшая?

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2+px$$ и прямой $$y=kx+1.$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2+px=kx+1,$$

то есть

$$x^2+(p-k)x-1=0.$$

Обозначим дискриминант:

$$D=(p-k)^2+4.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1=\frac{k-p-\sqrt{D}}{2}, \qquad x_2=\frac{k-p+\sqrt{D}}{2}.$$

Площадь искомой фигуры равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+px)\bigr)\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}(kx+1-x^2-px)\,dx.$$

После вычислений получаем

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{(p-k)^2+4}\,\bigl((p-k)^2+4\bigr).$$

Сделаем замену

$$t=(p-k)^2+4,\qquad t\ge 4.$$

Тогда

$$S(t)=\frac{1}{6}t\sqrt{t}=\frac{1}{6}t^{3/2}.$$

Функция $$S(t)$$ возрастает при $$t\ge 4$$, значит наименьшее значение площади достигается при $$t=4.$$

Отсюда

$$(p-k)^2=0,\qquad k=p.$$

Ответ: $$k=p.$$