Упр.1041 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) $$y=x^3-3x^2-9x+1$$, $$x=0$$, $$y=6$$ (при $$x<0$$); 2) $$y=x^4-2x^2+5$$, $$y=1$$, $$x=0$$, $$x=1$$.

1) Найдём точки пересечения графика $$y=x^3-3x^2-9x+1$$ с прямой $$y=6$$:

$$x^3-3x^2-9x+1=6$$

$$x^3-3x^2-9x-5=0$$

Проверим корень $$x=-1$$:

$$(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)-5=-1-3+9-5=0$$

Значит, $$x=-1$$ — корень, и на отрезке $$[-1;0]$$ искомая площадь равна

$$S=\int_{-1}^{0}\bigl(6-(x^3-3x^2-9x+1)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{0}(5-x^3+3x^2+9x)\,dx.$$

Тогда

$$S=\left(5x-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{0}$$

$$=0-\left(-5-\frac14-1+\frac92\right)=\frac74=1\frac34.$$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=x^4-2x^2+5$$, $$y=1$$, $$x=0$$, $$x=1$$.

На отрезке $$[0;1]$$ график функции $$y=x^4-2x^2+5$$ расположен выше прямой $$y=1$$, поэтому

$$S=\int_{0}^{1}\bigl((x^4-2x^2+5)-1\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}(x^4-2x^2+4)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+4x\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac15-\frac23+4=\frac{53}{15}=3\frac{8}{15}.$$

Ответ

1) $$1\frac34$$; 2) $$3\frac{8}{15}$$.