Упр.1040 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) параболой у — х2 — 2х + 2, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Оу, и прямой х = 1;
2) гиперболой у = 4/x, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6.

Подробный ответ

Парабола: $$y=x^2-2x+2.$$ Точка пересечения с осью $$Oy$$ соответствует $$x=0$$, значит
$$y(0)=2,$$
то есть точка касания имеет координаты $$\left(0;2\right).$$
Найдём производную:
$$y’=2x-2,$$
$$y'(0)=-2.$$
Уравнение касательной:
$$y-2=-2(x-0),$$
$$y=-2x+2.$$
Искомая площадь:
$$ S=\int_0^1 \bigl((x^2-2x+2)-(-2x+2)\bigr)\,dx =\int_0^1 x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 =\frac13. $$
Гипербола: $$y=\frac{4}{x}.$$ При $$x=2$$ получаем
$$y(2)=2.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{4}{x^2},$$
$$y'(2)=-1.$$
Уравнение касательной:
$$y-2=-1(x-2),$$
$$y=-x+4.$$
На отрезке $$[2;6]$$ гипербола расположена выше касательной, поэтому
$$ S=\int_2^6 \frac{4}{x}\,dx-\int_2^6(-x+4)\,dx. $$
Вычислим:
$$ S=4\ln x\Big|_2^6-\left(-\frac{x^2}{2}+4x\right)\Big|_2^6 =4\ln 3-2. $$