Упр.1040 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1. параболой $$y=-x^2-2x+2$$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью $$Oy$$, и прямой $$x=1$$;
2. гиперболой $$y=\frac{4}{x}$$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $$x=2$$, и прямыми $$y=0$$, $$x=6$$.

1) Для параболы $$y=x^2-2x+2$$ найдём касательную в точке пересечения с осью $$Oy$$. При $$x=0$$ получаем $$y=2$$, значит точка касания $$A(0;2)$$.

Производная:

$$y’=2x-2,$$

$$y'(0)=-2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=-2(x-0),$$

$$y=-2x+2.$$

Искомая площадь:

$$S=\int_0^1\bigl((x^2-2x+2)-(-2x+2)\bigr)\,dx =\int_0^1 x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 =\frac13.$$

Ответ: $$\frac13$$.

2) Для гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ найдём касательную в точке с абсциссой $$x=2$$. Тогда

$$y(2)=\frac{4}{2}=2,$$

то есть точка касания $$B(2;2)$$.

Производная:

$$y’=-\frac{4}{x^2},$$

$$y'(2)=-\frac{4}{4}=-1.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=-1(x-2),$$

$$y=-x+4.$$

На отрезке $$[2;6]$$ гипербола лежит выше касательной, поэтому

$$S=\int_2^6 \frac{4}{x}\,dx-\int_2^6(-x+4)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left.4\ln x\right|_2^6-\left(-\frac{x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_2^6 =4\ln\frac{6}{2}-\left((-18+24)-(-2+8)\right).$$

$$S=4\ln 3-2.$$

Ответ: $$4\ln 3-2$$.