Упр.1039 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=x^2-6x+9,\quad y=x^2+4x+4,\quad y=0$$
2. $$y=x^2+1,\quad y=3-x^2$$
3. $$y=x^2,\quad y=2\sqrt{2x}$$
4. $$y=\sqrt{x},\quad y=\sqrt{4-3x},\quad y=0$$

1) Найдём точку пересечения парабол:

$$x^2-6x+9=x^2+4x+4$$

$$10x=5,\qquad x=\frac12.$$

На отрезке $$\left[-2;\frac12\right]$$ выше расположена функция $$y=x^2+4x+4,$$ а на отрезке $$\left[\frac12;3\right]$$ — функция $$y=x^2-6x+9.$$ Тогда

$$S=\int_{-2}^{1/2}(x^2+4x+4)\,dx+\int_{1/2}^{3}(x^2-6x+9)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+4x\right)\Bigg|_{-2}^{1/2} +\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_{1/2}^{3} =10\frac{5}{12}.$$

Ответ: $$10\frac{5}{12}.$$

2) Точки пересечения:

$$x^2+1=3-x^2$$

$$2x^2=2,\qquad x=\pm1.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int_{-1}^{1}\bigl((3-x^2)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =2\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$2\frac{2}{3}.$$

3) Точки пересечения:

$$x^2=2\sqrt{2x}.$$

Так как $$x\ge 0,$$ возведём в квадрат:

$$x^4=8x,$$

$$x(x^3-8)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

На отрезке $$[0;2]$$ сверху находится график $$y=2\sqrt{2x},$$ снизу — $$y=x^2.$$ Тогда

$$S=\int_{0}^{2}\bigl(2\sqrt{2x}-x^2\bigr)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{4}{3}x\sqrt{2x}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{8}{3}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}.$$

4) Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=\sqrt{4-3x}$$

$$x=4-3x,$$

$$4x=4,\qquad x=1.$$

С учётом области определения $$x\in[0;\frac43]$$ площадь равна

$$S=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx.$$

$$S=\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)\Bigg|_{0}^{1} +\left(-\frac{2}{9}(4-3x)^{3/2}\right)\Bigg|_{1}^{4/3} =\frac{8}{9}.$$

Ответ: $$\frac{8}{9}.$$