Упр.1038 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
   
   1) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=4x$$, $$x=1$$, $$y=0$$;
   
   2) $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=x$$, $$x=2$$, $$y=0$$;
   
   3) $$y=x^2+1$$, $$y=x+1$$;
   
   4) $$y=x^2+2$$, $$y=2x+2$$.

1) Найдём точки пересечения графиков:

$$\frac{1}{x}=4x$$

$$1=4x^2$$

$$x^2=\frac14,\quad x=\frac12$$

На рассматриваемом промежутке $$x>0$$, поэтому площадь равна

$$S=\int_0^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x}\,dx$$

$$S=\left.2x^2\right|_0^{1/2}+\left.\ln x\right|_{1/2}^{1}=\frac12+\ln 1-\ln\frac12=\frac12-\ln\frac12$$

Ответ: $$\frac12-\ln\frac12$$

2) Найдём точку пересечения графиков:

$$\frac{1}{x^2}=x$$

$$x^3=1,\quad x=1$$

На отрезке $$[0,1]$$ сверху находится $$y=x$$, а на отрезке $$[1,2]$$ — $$y=\frac{1}{x^2}$$. Тогда

$$S=\int_0^1 x\,dx+\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx$$

$$S=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1+\left.-\frac{1}{x}\right|_1^2=\frac12+\left(-\frac12+1\right)=1$$

Ответ: $$1$$

3) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2+1=x+1$$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0,\quad x=0,\; x=1$$

На отрезке $$[0,1]$$ сверху находится $$y=x+1$$, снизу — $$y=x^2+1$$. Тогда

$$S=\int_0^1 \bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_0^1 (x-x^2)\,dx$$

$$S=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$$

Ответ: $$\frac16$$

4) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2+2=2x+2$$

$$x^2-2x=0$$

$$x(x-2)=0,\quad x=0,\; x=2$$

На отрезке $$[0,2]$$ сверху находится $$y=2x+2$$, снизу — $$y=x^2+2$$. Тогда

$$S=\int_0^2 \bigl((2x+2)-(x^2+2)\bigr)\,dx=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx$$

$$S=\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2=4-\frac83=\frac43$$

Ответ: $$\frac43$$