Упр.1035 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = корень x, x = 1, x = 4, у = 0;
2) у — cos х, х = 0, х=пи/3, у = 0;
3) у = х2, у = 2 — х;
4) у = 2х2, у = 0,5х + 1,5.

1. $$S=\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}.$$

2. $$S=\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi/3}=\sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

3. Найдём точки пересечения:

   $$x^2=2-x$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=1.$$

   На отрезке $$[-2;1]$$ сверху расположена прямая $$y=2-x$$, снизу — парабола $$y=x^2$$. Тогда

   $$S=\int_{-2}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx=\left. \left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}.$$

4. Найдём точки пересечения:

   $$2x^2=0{,}5x+1{,}5$$

   $$4x^2-x-3=0$$

   $$D=1+48=49,\quad x_1=-\frac{3}{4},\quad x_2=1.$$

   На отрезке $$\left[-\frac{3}{4};1\right]$$ сверху прямая $$y=0{,}5x+1{,}5$$, снизу парабола $$y=2x^2$$. Тогда

   $$S=\int_{-3/4}^{1}\bigl(0{,}5x+1{,}5-2x^2\bigr)\,dx=\left.\left(-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}\right)\right|_{-3/4}^{1}=\frac{151}{192}.$$

Ответ

1) $$4\frac{2}{3}$$; 2) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$4\frac{1}{2}$$; 4) $$\frac{151}{192}$$.