Упр.1033 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
   
   1) $$f(x)=\cos x$$, $$M(0;-2)$$;
   
   2) $$f(x)=\sin x$$, $$M(-\pi;0)$$;
   
   3) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$M(4;5)$$;
   
   4) $$f(x)=e^x$$, $$M(0;2)$$;
   
   5) $$f(x)=3x^2+1$$, $$M(1;-2)$$;
   
   6) $$f(x)=2-2x$$, $$M(2;3)$$.

Найдём первообразную для каждой функции и подберём постоянную $$C$$ из условия прохождения графика через заданную точку.

1. $$f(x)=\cos x$$

   $$F(x)=\sin x+C$$

   Так как график проходит через точку $$M(0;-2)$$, то

   $$-2=\sin 0+C$$

   $$-2=0+C,\quad C=-2$$

   Следовательно, $$F(x)=\sin x-2$$.

2. $$f(x)=\sin x$$

   $$F(x)=-\cos x+C$$

   Из условия $$M(-\pi;0)$$ получаем:

   $$0=-\cos(-\pi)+C$$

   $$0=-\cos \pi + C$$

   $$0=1+C,\quad C=-1$$

   Значит, $$F(x)=-\cos x-1$$.

3. $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}$$

   $$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C$$

   Так как точка $$M(4;5)$$ принадлежит графику, то

   $$5=2\sqrt{4}+C$$

   $$5=4+C,\quad C=1$$

   Следовательно, $$F(x)=2\sqrt{x}+1$$.

4. $$f(x)=e^x$$

   $$F(x)=e^x+C$$

   Из условия $$M(0;2)$$:

   $$2=e^0+C$$

   $$2=1+C,\quad C=1$$

   Значит, $$F(x)=e^x+1$$.

5. $$f(x)=3x^2+1$$

   $$F(x)=x^3+x+C$$

   Подставим точку $$M(1;-2)$$:

   $$-2=1^3+1+C$$

   $$-2=2+C,\quad C=-4$$

   Следовательно, $$F(x)=x^3+x-4$$.

6. $$f(x)=2-2x$$

   $$F(x)=2x-x^2+C$$

   Из условия $$M(2;3)$$:

   $$3=2\cdot 2-2^2+C$$

   $$3=4-4+C,\quad C=3$$

   Значит, $$F(x)=2x-x^2+3$$.

Ответ

1) $$\sin x-2$$; 2) $$-\cos x-1$$; 3) $$2\sqrt{x}+1$$; 4) $$e^x+1$$; 5) $$x^3+x-4$$; 6) $$2x-x^2+3$$.