Упр.1030 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Масса радия, равная $$1\ \text{г}$$, через $$10$$ лет уменьшилась до $$0{,}999\ \text{г}$$. Через сколько лет масса радия уменьшится до $$0{,}5\ \text{г}$$?

Пусть масса радия убывает по закону

$$m(t)=m_0e^{-kt},$$

где $$m_0=1$$ г.

Из условия через $$10$$ лет масса стала равна $$0{,}999$$ г, значит

$$0{,}999=e^{-10k}.$$

Тогда

$$-10k=\ln 0{,}999,\qquad k=-\frac{\ln 0{,}999}{10}.$$

Найдём момент, когда масса станет равной $$0{,}5$$ г:

$$0{,}5=e^{-kt}=e^{\frac{\ln 0{,}999}{10}t}.$$

Берём логарифм:

$$\frac{\ln 0{,}999}{10}\,t=\ln 0{,}5,$$

откуда

$$t=\frac{10\ln 0{,}5}{\ln 0{,}999}.$$

Вычислим приближённо:

$$t\approx \frac{10\cdot(-0{,}6931)}{-0{,}0010}\approx 6931.$$

Ответ

$$t=\frac{10\ln 0{,}5}{\ln 0{,}999}\approx 6931\text{ год}.$$