Упр.1029 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Показать, что функция $$y=C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x$$ при любых значениях $$C_1$$ и $$C_2$$ является решением дифференциального уравнения $$y»+\omega^2y=0$$.

Найдём производные функции $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x.$$

Первая производная:

$$y’=-C_1\omega \sin \omega x+C_2\omega \cos \omega x.$$

Вторая производная:

$$y»=-C_1\omega^2\cos \omega x-C_2\omega^2\sin \omega x.$$

Вынесем $$-\omega^2$$ за скобки:

$$y»=-\omega^2\left(C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x\right).$$

Так как $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x,$$ то

$$y»=-\omega^2 y.$$

Следовательно,

$$y»+\omega^2y=0.$$

Значит, функция $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ при любых значениях $$C_1$$ и $$C_2$$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ — решение уравнения $$y»+\omega^2y=0$$ при любых $$C_1$$ и $$C_2$$.