Упр.1029 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1029 Показать, что функция у = Сх coswх + С2 sinwх при любых значениях С1 и С2 является решением дифференциального уравнения у» + w2у = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1029 1111

Найдём производные функции $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x.$$

$$ y’=-C_1\omega \sin \omega x+C_2\omega \cos \omega x $$
$$ y»=-C_1\omega^2\cos \omega x-C_2\omega^2\sin \omega x $$

Вынесем $$-\omega^2$$ за скобки:

$$ y»=-\omega^2\left(C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x\right)=-\omega^2 y $$

Тогда

$$ y»+\omega^2 y=-\omega^2 y+\omega^2 y=0. $$

Следовательно, функция $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ при любых значениях $$C_1$$ и $$C_2$$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ — решение уравнения $$y»+\omega^2y=0$$ при любых $$C_1$$ и $$C_2$$.