Упр.1025 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Тело движется прямолинейно со скоростью $$v(t)$$ (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от $$t=t_1$$ до $$t=t_2$$:
   1) $$v(t)=3t^2+1,\quad t_1=0,\quad t_2=4$$;
   2) $$v(t)=2t^2+t,\quad t_1=1,\quad t_2=3$$.

Путь, пройденный телом за промежуток времени, находим по формуле

$$S=\int\limits_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

1. $$v(t)=3t^2+1,\quad t_1=0,\quad t_2=4.$$

   $$S=\int\limits_0^4 (3t^2+1)\,dt=\left(t^3+t\right)\Big|_0^4=4^3+4-0^3-0=64+4=68.$$

   Ответ: $$68\text{ м}.$$

2. $$v(t)=2t^2+t,\quad t_1=1,\quad t_2=3.$$

   $$S=\int\limits_1^3 (2t^2+t)\,dt=\left(\frac{2t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\right)\Big|_1^3.$$

   $$S=\left(\frac{2\cdot 3^3}{3}+\frac{3^2}{2}\right)-\left(\frac{2\cdot 1^3}{3}+\frac{1^2}{2}\right)=18+\frac{9}{2}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}.$$

   $$S=18+4-\frac{2}{3}=22-\frac{2}{3}=21\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$21\frac{1}{3}\text{ м}.$$