Упр.1024 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Фигура ограничена линиями $$y=x^2+1$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=1$$. Найти точку $$(x_0; y_0)$$ графика функции $$y=x^2+1$$, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Пусть $$a$$ — абсцисса точки касания, тогда $$b$$ — её ордината. Для функции $$y=x^2+1$$ имеем $$y'(x)=2x$$, значит уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y-(a^2+1)=2a(x-a),$$

откуда

$$y=2ax-a^2+1.$$

Искомая трапеция ограничена прямыми $$x=0$$, $$x=1$$, $$y=0$$ и касательной. Её площадь равна

$$S(a)=\int\limits_0^1 (2ax-a^2+1)\,dx.$$

Вычислим:

$$S(a)=\left(ax^2-a^2x+x\right)\Big|_0^1=a-a^2+1.$$

Найдём максимум функции $$S(a)$$:

$$S'(a)=1-2a.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$1-2a=0,\qquad a=\frac12.$$

Тогда

$$b=a^2+1=\left(\frac12\right)^2+1=\frac54.$$

Следовательно, искомая точка касания:

Ответ: $$\left(\frac12;\frac54\right).$$