Упр.1023 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Параболой $$y=-x^2+10$$ и касательными к этой параболе, проведёнными из точки $$(0;1)$$;

2) гиперболой $$y=\frac{1}{x}$$, прямой $$x=1$$ и касательной к кривой $$y=\frac{1}{x}$$ в точке с абсциссой $$x=2$$.

1) Для параболы $$y=x^2+10$$ найдём касательные, проведённые из точки $$(0;1)$$.

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x_0=a$$. Тогда

$$y'(x)=2x,\qquad y'(a)=2a,\qquad y(a)=a^2+10.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^2+10+2a(x-a)=-a^2+2ax+10.$$

Так как она проходит через точку $$(0;1)$$, получаем

$$-a^2+10=1,$$

$$a^2=9,\qquad a=\pm 3.$$

При $$a=3$$:

$$y=-9+6x+10=6x+1.$$

При $$a=-3$$:

$$y=-9-6x+10=-6x+1.$$

Точки пересечения касательных найдём из уравнения

$$6x+1=-6x+1,$$

$$12x=0,\qquad x=0.$$

Площадь искомой фигуры:

$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((x^2+10)-(6x+1)\bigr)\,dx+\int\limits_{-3}^{0}\bigl((x^2+10)-(-6x+1)\bigr)\,dx$$

$$=\int\limits_{0}^{3}(x^2-6x+9)\,dx+\int\limits_{-3}^{0}(x^2+6x+9)\,dx$$

$$=\int\limits_{0}^{3}(x-3)^2\,dx+\int\limits_{-3}^{0}(x+3)^2\,dx$$

$$=\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_{0}^{3}+\left(\frac{x^3}{3}+3x^2+9x\right)\Bigg|_{-3}^{0}=9+9=18.$$

2) Для гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ найдём касательную в точке с абсциссой $$x_0=2$$.

$$y'(x)=-\frac{1}{x^2},\qquad y'(2)=-\frac14,\qquad y(2)=\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac12=-\frac14(x-2),$$

$$y=-\frac14x+1.$$

Точки пересечения гиперболы и касательной найдём из уравнения

$$\frac1x=-\frac14x+1,$$

$$4=x(4-x),$$

$$x^2-4x+4=0,$$

$$(x-2)^2=0,\qquad x=2.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_{1}^{2}\left(\frac1x-\left(-\frac14x+1\right)\right)\,dx =\int\limits_{1}^{2}\left(\frac1x+\frac14x-1\right)\,dx$$

$$=\left(\ln x+\frac{x^2}{8}-x\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(\ln 2+\frac{4}{8}-2\right)-\left(\ln 1+\frac18-1\right) =\ln 2-\frac58.$$

Ответ

1) $$18$$; 2) $$\ln 2-\frac58$$.