Упр.1023 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) гиперболой у = 1/x, прямой х = 1 и касательной к кривой y= 1/x в точке с абсциссой х=2.

1. Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2+10$$ и касательными, проведёнными к ней из точки $$\left(0;1\right)$$.

   Уравнение касательной в точке с абсциссой $$x_0$$:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

   Здесь $$f(x)=x^2+10,$$ поэтому $$f'(x)=2x,$$ и

   $$y=x_0^2+10+2x_0(x-x_0)=-x_0^2+2x_0x+10.$$

   Так как касательная проходит через точку $$\left(0;1\right),$$ получаем:

   $$-x_0^2+10=1,$$

   $$x_0^2=9,$$

   $$x_0=\pm 3.$$

   Тогда уравнения касательных:

   при $$x_0=-3$$: $$y=1-6x,$$

   при $$x_0=3$$: $$y=1+6x.$$

   Точки их пересечения с параболой: $$x=-3$$ и $$x=3.$$

   Искомая площадь:

   $$ S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((x^2+10)-(1+6x)\bigr)\,dx+\int\limits_{-3}^{0}\bigl((x^2+10)-(1-6x)\bigr)\,dx $$

   $$ =\int\limits_{0}^{3}(x^2-6x+9)\,dx+\int\limits_{-3}^{0}(x^2+6x+9)\,dx $$

   $$ =\int\limits_{0}^{3}(x-3)^2\,dx+\int\limits_{-3}^{0}(x+3)^2\,dx =9+9=18. $$

2. Найдём площадь фигуры, ограниченной гиперболой $$y=\frac{1}{x},$$ прямой $$x=1$$ и касательной к кривой $$y=\frac{1}{x}$$ в точке с абсциссой $$x=2$$.

   Производная:

   $$y’=-\frac{1}{x^2}.$$

   В точке $$x_0=2$$ имеем:

   $$y(2)=\frac{1}{2}, \qquad y'(2)=-\frac{1}{4}.$$

   Уравнение касательной:

   $$ y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2), $$

   откуда

   $$y=1-\frac{x}{4}.$$

   Искомая площадь:

   $$ S=\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\left(1-\frac{x}{4}\right)\right)\,dx =\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}-1\right)\,dx. $$

   $$ S=\left(\ln x+\frac{x^2}{8}-x\right)\Bigg|_{1}^{2} =\ln 2+\frac{4}{8}-2-\left(0+\frac{1}{8}-1\right) =\ln 2-\frac{5}{8}. $$

Ответ

1) $$18$$; 2) $$\ln 2-\frac{5}{8}$$.