Упр.1022 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) параболой у — -х2 и прямой у = -2;
3) параболами у = 1-х2 и у = х2 — 1;
4) графиком функции у = х3 и прямыми у = 1, х = -2.

Подробный ответ

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$ (1;0) $$ и $$ (0;-3) $$.
Пусть $$ y=kx+b $$.
Из точки $$ (0;-3) $$ получаем $$ b=-3 $$.
Из точки $$ (1;0) $$:
$$ 0=k\cdot 1-3, \quad k=3. $$
Значит, прямая имеет вид $$ y=3x-3 $$.
Найдём точки пересечения с параболой $$ y=-x^2+4x-3 $$:
$$ -x^2+4x-3=3x-3 \\ -x^2+x=0 \\ x(x-1)=0 $$
Отсюда $$ x=0 $$ и $$ x=1 $$.
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1 \bigl((-x^2+4x-3)-(3x-3)\bigr)\,dx =\int_0^1 (-x^2+x)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =-\frac13+\frac12=\frac16 $$
Для фигур, ограниченных графиками $$ y=-x^2 $$ и $$ y=-2 $$, найдём точки пересечения:
$$ -x^2=-2,\quad x^2=2,\quad x=\pm\sqrt2. $$
Площадь:
$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl((-x^2)-(-2)\bigr)\,dx =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx $$
$$ S=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt2}^{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2}{3} $$
Найдём точки пересечения парабол $$ y=1-x^2 $$ и $$ y=x^2-1 $$:
$$ 1-x^2=x^2-1 \\ 2x^2=2 \\ x=\pm1 $$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-1}^{1}\bigl((1-x^2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx $$
$$ S=2\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx =2\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{8}{3} $$
Фигура ограничена графиком $$ y=x^3 $$, прямой $$ y=1 $$ и прямой $$ x=-2 $$.
Точка пересечения $$ y=x^3 $$ и $$ y=1 $$:
$$ x^3=1,\quad x=1. $$
Площадь равна:
$$ S=\int_{-2}^{1}(1-x^3)\,dx =\left(x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{1} $$
$$ S=\left(1-\frac14\right)-\left(-2-\frac{16}{4}\right) =\frac34+6=\frac{27}{4} $$