Упр.1022 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Параболой $$y=-x^2+4x-3$$ и прямой, проходящей через точки $$(1; 0)$$ и $$(0; -3)$$.
2. Параболой $$y=-x^2$$ и прямой $$y=-2$$.
3. Параболами $$y=1-x^2$$ и $$y=x^2-1$$.
4. Графиком функции $$y=x^3$$ и прямыми $$y=1$$, $$x=-2$$.

1) Прямая проходит через точки $$(1;0)$$ и $$(0;-3)$$, значит её уравнение имеет вид $$y=kx+b$$. Подставим координаты точек:

$$\begin{cases} 0=k\cdot 1+b,\\ -3=k\cdot 0+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-3,\\ k=3 \end{cases}$$

Следовательно, $$y=3x-3$$. Точки пересечения с параболой найдём из уравнения:

$$-x^2+4x-3=3x-3$$

$$-x^2+x=0$$

$$x(x-1)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=1$$

Тогда площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^1\bigl((-x^2+4x-3)-(3x-3)\bigr)\,dx =\int\limits_0^1(-x^2+x)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =-\frac13+\frac12=\frac16$$

2) Пересечём графики $$y=-x^2$$ и $$y=-2$$:

$$-x^2=-2$$

$$x^2=2,\qquad x=\pm\sqrt2$$

На отрезке $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$ верхняя функция — $$y=-x^2$$, нижняя — $$y=-2$$. Тогда

$$S=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl((-x^2)-(-2)\bigr)\,dx =\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx$$

$$S=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt2}^{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2}{3}$$

3) Найдём точки пересечения парабол:

$$1-x^2=x^2-1$$

$$2x^2=2,\qquad x=\pm1$$

Площадь фигуры равна удвоенной площади одной из симметричных частей:

$$S=2\int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx$$

$$S=2\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =2\left(1-\frac13+1-\frac13\right) =\frac{8}{3}$$

4) График $$y=x^3$$ пересекает прямую $$y=1$$ в точке $$x=1$$, а левая граница области задана прямой $$x=-2$$. Тогда площадь фигуры:

$$S=\int\limits_{-2}^{1}(1-x^3)\,dx$$

$$S=\left(x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(1-\frac14\right)-\left(-2-\frac{16}{4}\right) =\frac34+6=\frac{27}{4}$$

Ответ

1) $$\frac16$$; 2) $$\frac{8\sqrt2}{3}$$; 3) $$\frac83$$; 4) $$\frac{27}{4}$$.