Упр.1019 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

1) Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right).$$

Общий вид уравнения прямой: $$y=kx+b.$$

Подставим координаты точек:

$$\begin{aligned} 0&=k\cdot 0+b,\\ 1&=k\cdot \frac{\pi}{2}+b. \end{aligned}$$

Из первого уравнения получаем $$b=0,$$ тогда

$$1=k\cdot \frac{\pi}{2}, \qquad k=\frac{2}{\pi}.$$

Следовательно, уравнение прямой:

$$y=\frac{2}{\pi}x.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$y=\sin x$$ положительна, а прямая $$y=\frac{2}{\pi}x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$ лежит ниже графика синуса, поэтому площадь искомой фигуры равна

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2}{\pi}x\,dx+\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx.$$

Вычислим:

$$\begin{aligned} S&=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{x^2}{2}\Bigg|_{0}^{\pi/2}+(-\cos x)\Bigg|_{\pi/2}^{\pi}\\ &=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{\pi^2}{4}+(-\cos \pi)-(-\cos \frac{\pi}{2})\\ &=\frac{\pi}{4}+1+0\\ &=1+\frac{\pi}{4}. \end{aligned}$$

2) Точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ найдём из уравнения

$$\sin x=\cos x.$$

Так как $$\cos x\neq 0$$ в точке пересечения на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ получаем

$$\tg x=1,\qquad x=\frac{\pi}{4}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ выше график $$y=\cos x,$$ а на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ выше график $$y=\sin x.$$ Поэтому

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\cos x\,dx+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\sin x\,dx.$$

Вычислим:

$$\begin{aligned} S&=\sin x\Bigg|_{0}^{\pi/4}+(-\cos x)\Bigg|_{\pi/4}^{\pi/2}\\ &=\left(\frac{\sqrt2}{2}-0\right)+\left(0-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\right)\\ &=\sqrt2. \end{aligned}$$