Упр.1015 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) графиками функций у = х3, у = 2х — х2 и осью Ох.

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=(x-2)^2$$:

   $$\sqrt{x}=(x-2)^2.$$

   Подходит значение $$x=1$$, так как

   $$\sqrt{1}=1,\qquad (1-2)^2=1.$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=\sqrt{x}$$, а на отрезке $$[1;2]$$ — график $$y=(x-2)^2$$. Тогда площадь фигуры равна

   $$ S=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx+\int_1^2 (x-2)^2\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ S=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^1+\left.\frac{(x-2)^3}{3}\right|_1^2 =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1. $$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^3$$ и $$y=2x-x^2$$:

   $$x^3=2x-x^2,$$

   $$x^3+x^2-2x=0,$$

   $$x(x^2+x-2)=0,$$

   $$x(x+2)(x-1)=0.$$

   Отсюда $$x=-2,\;0,\;1$$. Для искомой фигуры, ограниченной графиками и осью $$Ox$$, берём промежуток от $$0$$ до $$2$$: на $$[0;1]$$ сверху находится $$y=x^3$$, а на $$[1;2]$$ — $$y=2x-x^2$$.

   Тогда

   $$ S=\int_0^1 x^3\,dx+\int_1^2 (2x-x^2)\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1+\left.(x^2-\frac{x^3}{3})\right|_1^2 =\frac14+\left(4-\frac83-1+\frac13\right) =\frac14+\frac43=\frac{11}{12}. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{11}{12}$$.