Упр.1010 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\int_{1}^{2}\frac{3\,dx}{2x-1}$$
2. $$\int_{0}^{1}\frac{4\,dx}{3x+2}$$
3. $$\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

1) $$\int_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int \frac{3}{2x-1}\,dx=\frac{3}{2}\ln|2x-1|+C$$

Тогда

$$\int_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx=\left.\frac{3}{2}\ln|2x-1|\right|_{1}^{2}=\frac{3}{2}\bigl(\ln 3-\ln 1\bigr)=\frac{3}{2}\ln 3.$$

2) $$\int_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int \frac{4}{3x+2}\,dx=\frac{4}{3}\ln|3x+2|+C$$

Тогда

$$\int_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx=\left.\frac{4}{3}\ln|3x+2|\right|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\bigl(\ln 5-\ln 2\bigr)=\frac{4}{3}\ln\frac{5}{2}.$$

3) $$\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+C$$

Тогда

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=\left.-\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\right|_{0}^{\pi/2}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\cos\frac{4\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{3}{2}\ln 3;\ \frac{4}{3}\ln\frac{5}{2};\ \frac{1}{2}$$