Упр.101 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 101. Упростить выражение:

1. $$x^{-2\sqrt{2}}\cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$$

   Преобразуем дробь в степень:
   $$\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}=x^{\sqrt{2}+1}$$

   Тогда
   $$ x^{-2\sqrt{2}}\cdot \left(x^{\sqrt{2}+1}\right)^{\sqrt{2}+1} =x^{-2\sqrt{2}}\cdot x^{(\sqrt{2}+1)^2} $$

   $$ (\sqrt{2}+1)^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2} $$

   Значит,
   $$ x^{-2\sqrt{2}}\cdot x^{3+2\sqrt{2}}=x^3 $$

2. $$ \left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}} $$

   Раскроем степени:
   $$ \left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} =a^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}\cdot b^{-(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} $$

   Так как
   $$ \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=3+\sqrt{3}, \qquad (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=2, $$
   получаем
   $$ a^{3+\sqrt{3}}\cdot b^{-2} $$

   Тогда всё выражение равно
   $$ a^{3+\sqrt{3}}\cdot b^{-2}\cdot a^{-1-\sqrt{3}}\cdot b^2 =a^{3+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}\cdot b^0 =a^2 $$

Ответ

1) $$x^3$$ 2) $$a^2$$