Упр.1007 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\int_0^4 (x-3\sqrt{x})\,dx$$
2. $$\int_1^9 \left(2x-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)\,dx$$
3. $$\int_0^2 e^{3x}\,dx$$
4. $$\int_1^3 2e^{2x}\,dx$$

1. $$\int\limits_0^4 (x-3\sqrt{x})\,dx=\int\limits_0^4 \left(x-3x^{1/2}\right)\,dx$$

   Найдём первообразную:

   $$\int \left(x-3x^{1/2}\right)\,dx=\frac{x^2}{2}-2x^{3/2}$$

   Тогда

   $$\int\limits_0^4 (x-3\sqrt{x})\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x^{3/2}\right)\Bigg|_0^4$$

   $$=\left(\frac{16}{2}-2\cdot 4^{3/2}\right)-\left(0-0\right)=8-2\cdot 8=-8$$

2. $$\int\limits_1^9 \left(2x-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)\,dx=\int\limits_1^9 \left(2x-3x^{-1/2}\right)\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int \left(2x-3x^{-1/2}\right)\,dx=x^2-6\sqrt{x}$$

   Тогда

   $$\int\limits_1^9 \left(2x-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)\,dx=\left(x^2-6\sqrt{x}\right)\Bigg|_1^9$$

   $$=(81-18)-(1-6)=63+5=68$$

3. $$\int\limits_0^2 e^{3x}\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}$$

   Тогда

   $$\int\limits_0^2 e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}\Bigg|_0^2=\frac{1}{3}\left(e^6-e^0\right)=\frac{e^6-1}{3}$$

4. $$\int\limits_1^3 2e^{2x}\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int 2e^{2x}\,dx=e^{2x}$$

   Тогда

   $$\int\limits_1^3 2e^{2x}\,dx=e^{2x}\Bigg|_1^3=e^6-e^2$$

Ответ: 1) $$-8$$; 2) $$68$$; 3) $$\frac{e^6-1}{3}$$; 4) $$e^6-e^2$$.