Упр.1003 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$:
   
   1) $$b=2$$, $$f(x)=5x-x^2$$, $$2\le x\le 5$$;
   
   2) $$b=3$$, $$f(x)=x^2+2x$$;
   
   3) $$b=1$$, $$f(x)=e^{x-1}$$;
   
   4) $$b=2$$, $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$.

1) $$S=\int\limits_{2}^{5}(5x-x^2)\,dx$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$$

Тогда

$$S=F(5)-F(2)=\left(\frac{5\cdot 25}{2}-\frac{125}{3}\right)-\left(\frac{5\cdot 4}{2}-\frac{8}{3}\right)=\frac{27}{2}$$

Ответ: $$\frac{27}{2}$$

2) $$S=\int\limits_{0}^{3}(x^2+2x)\,dx$$

Первообразная:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2$$

Тогда

$$S=F(3)-F(0)=\left(\frac{27}{3}+9\right)-0=18$$

Ответ: $$18$$

3) $$S=\int\limits_{0}^{1}(e^x-1)\,dx$$

Первообразная:

$$F(x)=e^x-x$$

Тогда

$$S=F(1)-F(0)=(e-1)-(1)=e-2$$

Ответ: $$e-2$$

4) $$S=\int\limits_{1}^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx$$

Первообразная:

$$F(x)=x-\ln x$$

Тогда

$$S=F(2)-F(1)=(2-\ln 2)-(1-0)=1-\ln 2$$

Ответ: $$1-\ln 2$$