Упр.1003 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) b = 2, f (х) = 5х — х2, 2 < = х < = 5; 2) b = 3, f (х) = х2 + 2х; 3) b=1, f(х) = ех-1; 4) b = 2, f(x) = 1- 1/x.

Подробный ответ

$$f(x)=5x-x^2,\quad b=2.$$
Найдём точки пересечения графика с осью $$Ox$$:
$$5x-x^2=0$$
$$x(5-x)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=5.$$
На отрезке $$[2;5]$$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{2}^{5}(5x-x^2)\,dx.$$
Первообразная:
$$F(x)=\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}.$$
Тогда
$$S=F(5)-F(2)=\left(\frac{5\cdot 25}{2}-\frac{125}{3}\right)-\left(\frac{5\cdot 4}{2}-\frac{8}{3}\right)=\frac{27}{2}.$$
$$f(x)=x^2+2x,\quad b=3.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-2.$$
На отрезке $$[0;3]$$ функция неотрицательна, значит
$$S=\int\limits_{0}^{3}(x^2+2x)\,dx.$$
Первообразная:
$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2.$$
Тогда
$$S=F(3)-F(0)=\frac{27}{3}+9=18.$$
$$f(x)=e^x-1,\quad b=1.$$
Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:
$$e^x-1=0$$
$$e^x=1$$
$$x=0.$$
На отрезке $$[0;1]$$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{0}^{1}(e^x-1)\,dx.$$
Первообразная:
$$F(x)=e^x-x.$$
Тогда
$$S=F(1)-F(0)=(e-1)-(1)=e-2.$$
$$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad b=2.$$
Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:
$$1-\frac{1}{x}=0$$
$$x=1.$$
На отрезке $$[1;2]$$ функция неотрицательна, значит
$$S=\int\limits_{1}^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$F(x)=x-\ln x.$$
Тогда
$$S=F(2)-F(1)=(2-\ln 2)-(1-0)=1-\ln 2.$$