Упр.1002 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$: 1) $$a=1$$, $$b=8$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$; 2) $$a=4$$, $$b=9$$, $$f(x)=\sqrt{x}$$.

1) $$S=\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\,dx=\int_{1}^{8}x^{1/3}\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int x^{1/3}\,dx=\frac{3}{4}x^{4/3}+C$$

Тогда

$$S=\left.\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_{1}^{8}=\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1^{4/3}\right)=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}=11\frac{1}{4}.$$

Ответ: $$11\frac{1}{4}$$

2) $$S=\int_{4}^{9}\sqrt{x}\,dx=\int_{4}^{9}x^{1/2}\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$$

Тогда

$$S=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{4}^{9}=\frac{2}{3}\left(9^{3/2}-4^{3/2}\right)=\frac{2}{3}(27-8)=\frac{38}{3}=12\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$12\frac{2}{3}$$