Упр.86 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$5\sqrt{x-2}+3\sqrt{x+1}+2x=17$$; б) $$\sqrt{3x-2}+2\sqrt{x-1}+5x=14$$.

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$5\sqrt{x-2}+3\sqrt{x+1}+2x=17.$$

   Перенесём $$2x$$ вправо:

   $$5\sqrt{x-2}+3\sqrt{x+1}=17-2x.$$

   Область определения: $$x-2\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$ значит $$x\ge 2.$$

   Левая часть неотрицательна, поэтому должно быть

   $$17-2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le \frac{17}{2}.$$

   На отрезке $$\left[2;\frac{17}{2}\right]$$ левая часть возрастает, а правая убывает, значит уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем:

   $$x=3.$$

   Проверка:

   $$5\sqrt{3-2}+3\sqrt{3+1}+2\cdot 3=5\cdot 1+3\cdot 2+6=17.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{3x-2}+2\sqrt{x-1}+5x=14.$$

   Перенесём $$5x$$ вправо:

   $$\sqrt{3x-2}+2\sqrt{x-1}=14-5x.$$

   Область определения: $$3x-2\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$14-5x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le \frac{14}{5}.$$

   На отрезке $$\left[1;\frac{14}{5}\right]$$ левая часть возрастает, а правая убывает, значит уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем:

   $$x=2.$$

   Проверка:

   $$\sqrt{3\cdot 2-2}+2\sqrt{2-1}+5\cdot 2=\sqrt{4}+2\cdot 1+10=14.$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=2$$.