Упр.56 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Найдите координаты общих точек графиков функции:

а) $$y=\sqrt{x}+7$$ и прямой $$y-x-1=0$$;

б) $$y=\sqrt{x}-4$$ и прямой $$y-2x+9=0$$.

а) Найдём общие точки графиков $$y=\sqrt{x+7}$$ и $$y=x+1$$.

Составим уравнение:

$$\sqrt{x+7}=x+1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+7=(x+1)^2$$

$$x+7=x^2+2x+1$$

$$x^2+x-6=0$$

$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0$$

$$x=-3 \text{ или } x=2.$$

Значение $$x=-3$$ не подходит, так как $$x\ge -1.$$

При $$x=2$$ получаем:

$$y=x+1=2+1=3.$$

Следовательно, общая точка: $$\left(2;3\right).$$

б) Найдём общие точки графиков $$y=\sqrt{x-4}$$ и $$y=2x-9$$.

Составим уравнение:

$$\sqrt{x-4}=2x-9.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x-9\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac{9}{2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-4=(2x-9)^2$$

$$x-4=4x^2-36x+81$$

$$4x^2-37x+85=0$$

Найдём корни:

$$D=37^2-4\cdot 4\cdot 85=1369-1360=9.$$

$$x=\frac{37\pm 3}{8}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{17}{4}, \quad x_2=5.$$

Проверим условие $$x\ge \frac{9}{2}.$$ Значение $$x=\frac{17}{4}$$ не подходит, а $$x=5$$ подходит.

Тогда

$$y=2x-9=2\cdot 5-9=1.$$

Следовательно, общая точка: $$\left(5;1\right).$$

Ответ

а) $$\left(2;3\right)$$; б) $$\left(5;1\right)$$.