Упр.55 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=\sqrt{x^2-x-2}+\log_{3+x}(9-x^2)$$;
   б) $$y=\sqrt{12-x-x^2}\cdot\log_{3+x}(\pi^2-x^2)$$.

а) Найдём область определения функции

$$y=\sqrt{x^2-x-2}+\log_{3+x}(9-x^2)$$

Для этого нужно, чтобы выполнялись условия:

$$\begin{cases} x^2-x-2 \ge 0,\\ 9-x^2 \ge 0,\\ 3+x>0,\\ 3+x\ne 1. \end{cases}$$

1) Решим неравенство

$$x^2-x-2 \ge 0$$

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

$$(x-2)(x+1)\ge 0$$

Отсюда
$$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

2) Решим неравенство

$$9-x^2 \ge 0$$

$$(3-x)(3+x)\ge 0$$

Отсюда
$$x\in[-3;3].$$

3) Из условия основания логарифма:

$$3+x>0 \quad \Rightarrow \quad x>-3,$$

$$3+x\ne 1 \quad \Rightarrow \quad x\ne -2.$$

Пересекаем все полученные условия:

$$x\in\bigl((-\infty;-1]\cup[2;+\infty)\bigr)\cap[-3;3]\cap(-3;+\infty)\setminus\{-2\}.$$

Получаем
$$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup[2;3].$$

б) Найдём область определения функции

$$y=\sqrt{12-x-x^2}\cdot \log_{3-x}(\pi^2-x^2)$$

Требуются условия:

$$\begin{cases} 12-x-x^2 \ge 0,\\ \pi^2-x^2>0,\\ 3-x>0,\\ 3-x\ne 1. \end{cases}$$

1) Решим неравенство

$$12-x-x^2 \ge 0$$

$$x^2+x-12 \le 0$$

$$(x+4)(x-3)\le 0$$

Отсюда
$$x\in[-4;3].$$

2) Из условия подлогарифмического выражения:

$$\pi^2-x^2>0 \quad \Rightarrow \quad -\pi

3) Для основания логарифма:

$$3-x>0 \quad \Rightarrow \quad x<3,$$

$$3-x\ne 1 \quad \Rightarrow \quad x\ne 2.$$

Пересекаем все условия:

$$x\in[-4;3]\cap(-\pi;\pi)\cap(-\infty;3)\setminus\{2\}.$$

Следовательно,
$$x\in(-\pi;2)\cup(2;3).$$

Ответ

а) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup[2;3]$$

б) $$x\in(-\pi;2)\cup(2;3)$$