Упр.37 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции (37—46):
   а) $$y=|1-2x|+|2x+3|$$;
   б) $$y=|2x-3|+|1-x|$$.

а) Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в нуль:

$$1-2x=0 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32.$$

Рассмотрим промежутки:

1) $$x<-\frac32$$

Тогда $$|1-2x|=1-2x,\quad |2x+3|=-(2x+3),$$

поэтому

$$y=1-2x-(2x+3)=-4x-2.$$

2) $$-\frac32\le x\le \frac12$$

Тогда $$|1-2x|=1-2x,\quad |2x+3|=2x+3,$$

и

$$y=1-2x+2x+3=4.$$

3) $$x>\frac12$$

Тогда $$|1-2x|=-(1-2x),\quad |2x+3|=2x+3,$$

следовательно

$$y=-1+2x+2x+3=4x+2.$$

Итак,

$$y= \begin{cases} -4x-2, & x<-\frac32,\\ 4, & -\frac32\le x\le \frac12,\\ 4x+2, & x>\frac12. \end{cases}$$

б) Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в нуль:

$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$

$$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$

Рассмотрим промежутки:

1) $$x<1$$

Тогда $$|2x-3|=-(2x-3),\quad |1-x|=1-x,$$

и

$$y=-2x+3+1-x=-3x+4.$$

2) $$1\le x\le \frac32$$

Тогда $$|2x-3|=-(2x-3),\quad |1-x|=x-1,$$

поэтому

$$y=-2x+3+x-1=-x+2.$$

3) $$x>\frac32$$

Тогда $$|2x-3|=2x-3,\quad |1-x|=x-1,$$

следовательно

$$y=2x-3+x-1=3x-4.$$

Итак,

$$y= \begin{cases} -3x+4, & x<1,\\ -x+2, & 1\le x\le \frac32,\\ 3x-4, & x>\frac32. \end{cases}$$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} -4x-2, & x<-\frac32,\\ 4, & -\frac32\le x\le \frac12,\\ 4x+2, & x>\frac12. \end{cases}$$

б) $$y= \begin{cases} -3x+4, & x<1,\\ -x+2, & 1\le x\le \frac32,\\ 3x-4, & x>\frac32. \end{cases}$$