Упр.33 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) О первых шести членах возрастающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 49. Найдите первый член этой прогрессии.

б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найдите седьмой член этой прогрессии.

1. Пусть первые шесть членов возрастающей арифметической прогрессии равны

   $$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d,\ a_1+4d,\ a_1+5d.$$

   По условию

   $$a_1^5+(a_1+d)^5+(a_1+2d)^5+(a_1+3d)^5+(a_1+4d)^5+(a_1+5d)^5=0.$$

   Так как сумма пятых степеней равна нулю, члены прогрессии должны попарно взаимно уничтожаться. Для шести членов это возможно только при

   $$a_1+a_6=0,$$

   то есть

   $$a_1+(a_1+5d)=0,\qquad d=-\frac{2a_1}{5}.$$

   Тогда члены прогрессии:

   $$a_1,\ \frac{3a_1}{5},\ \frac{a_1}{5},\ -\frac{a_1}{5},\ -\frac{3a_1}{5},\ -a_1.$$

   Используем условие о сумме четвёртых степеней:

   $$a_1^4+\left(\frac{3a_1}{5}\right)^4+\left(\frac{a_1}{5}\right)^4+\left(-\frac{a_1}{5}\right)^4+\left(-\frac{3a_1}{5}\right)^4+(-a_1)^4=49.$$

   Тогда

   $$a_1^4\left(1+\frac{81}{625}+\frac{1}{625}+\frac{1}{625}+\frac{81}{625}+1\right)=49,$$

   $$a_1^4\cdot \frac{707}{625}=49,$$

   $$a_1^4=\frac{49\cdot 625}{707}=\frac{625}{101}.$$

   Так как прогрессия возрастающая, то $$a_1<0$$, значит

   $$a_1=-\sqrt[4]{\frac{625}{101}}=-\frac{5}{\sqrt[4]{101}}.$$

2. Пусть первые семь членов убывающей арифметической прогрессии равны

   $$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d,\ a_1+4d,\ a_1+5d,\ a_1+6d.$$

   Из условия о сумме пятых степеней получаем, что члены снова должны попарно взаимно уничтожаться, а средний член равен нулю:

   $$a_4=a_1+3d=0,$$

   откуда

   $$d=-\frac{a_1}{3}.$$

   Тогда

   $$a_1,\ \frac{2a_1}{3},\ \frac{a_1}{3},\ 0,\ -\frac{a_1}{3},\ -\frac{2a_1}{3},\ -a_1.$$

   Используем сумму четвёртых степеней:

   $$a_1^4+\left(\frac{2a_1}{3}\right)^4+\left(\frac{a_1}{3}\right)^4+0+\left(-\frac{a_1}{3}\right)^4+\left(-\frac{2a_1}{3}\right)^4+(-a_1)^4=51.$$

   Тогда

   $$a_1^4\left(1+\frac{16}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{16}{81}+1\right)=51,$$

   $$a_1^4\cdot \frac{196}{81}=51,$$

   $$a_1^4=\frac{51\cdot 81}{196}.$$

   Так как прогрессия убывающая, то седьмой член

   $$a_7=a_1+6d=a_1-2a_1=-a_1.$$

   Следовательно,

   $$a_7=\sqrt[4]{\frac{51\cdot 81}{196}}=3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}.$$

Ответ

а) $$-\sqrt[4]{\frac{625}{101}}$$; б) $$3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}$$.