Упр.32 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии при отрицательном знаменателе $$-1<q<0.$$

Сумма членов с нечётными номерами:

$$S_{\text{неч}}=\frac{b_1}{1-q},$$

сумма членов с чётными номерами:

$$S_{\text{чёт}}=\frac{b_2}{1-q}, \qquad b_2=b_1q.$$

По условию:

$$\frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1q}{1-q}=b_1q(m^2+10m+20).$$

Сократим на $$b_1\neq 0$$:

$$\frac{1-q}{1-q}=q(m^2+10m+20),$$

откуда

$$1=q(m^2+10m+20), \qquad q=\frac{1}{m^2+10m+20}.$$

Так как $$-1<q<0,$$ то

$$-1<\frac{1}{m^2+10m+20}<0.$$

Следовательно,

$$m^2+10m+20<0$$

и

$$\frac{1}{m^2+10m+20}>-1.$$

Из второго неравенства получаем:

$$1+m^2+10m+20>0,$$

то есть

$$m^2+10m+21>0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} m^2+10m+20<0,\\ m^2+10m+21>0. \end{cases}$$

Корни уравнения $$m^2+10m+20=0$$:

$$m=-5\pm\sqrt{5}.$$

Значит, $$m^2+10m+20<0$$ при

$$-5-\sqrt{5}<m<-5+\sqrt{5}.$$

Целые значения:

$$m=-6,\,-5,\,-4.$$

б) Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии при положительном знаменателе $$0<q<1.$$

По условию:

$$\frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1q}{1-q}=b_1q(6n-n^2-7{,}5).$$

После сокращения на $$b_1\neq 0$$ получаем:

$$1=q(6n-n^2-7{,}5),$$

откуда

$$q=\frac{1}{6n-n^2-7{,}5}=-\frac{1}{n^2-6n+7{,}5}.$$

Так как $$0<q<1,$$ то

$$0<-\frac{1}{n^2-6n+7{,}5}<1.$$

Это равносильно системе:

$$\begin{cases} n^2-6n+7{,}5<0,\\ n^2-6n+8{,}5>0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$n^2-6n+7{,}5=0,$$

$$D=36-30=6,$$

$$n=3\pm\frac{\sqrt6}{2}.$$

Значит,

$$3-\frac{\sqrt6}{2}<n<3+\frac{\sqrt6}{2}.$$

Целые значения:

$$n=3.$$

Проверим второе неравенство: при $$n=3$$ имеем

$$n^2-6n+8{,}5=8{,}5-18+9= -0{,}5<0,$$

поэтому условие $$n^2-6n+8{,}5>0$$ не выполняется.

Следовательно, целых значений $$n$$, удовлетворяющих условию, нет.

Ответ

а) $$m=-6,\,-5,\,-4.$$
б) целых значений $$n$$ нет.