Упр.286 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Пусть число $$p$$ является делителем чисел $$k^3+9k$$ и $$k^4+12k^2+12.$$ Тогда оно делит и их линейную комбинацию:

$$k(k^3+9k)=k^4+9k^2,$$

значит, $$p$$ делит разность

$$\left(k^4+12k^2+12\right)-\left(k^4+9k^2\right)=3k^2+12.$$

Аналогично, если $$p$$ делит $$3k^2+12$$ и $$k^3+9k,$$, то оно делит

$$3(k^3+9k)-k(3k^2+12)=15k.$$

Следовательно, $$p$$ является общим делителем чисел $$3k^2+12$$ и $$15k,$$ а значит, делит и число

$$5(3k^2+12)-k\cdot 15k=60.$$

Число $$60$$ имеет ровно три различных простых делителя: $$2, 3, 5.$$ Остаётся проверить, при каких простых $$k$$ одно из чисел $$2, 3, 5$$ действительно является общим делителем чисел $$k^4+12k^2+12$$ и $$k^3+9k.$$

Если $$k$$ чётное, то число $$2$$ является общим делителем данных чисел.

Если $$k$$ кратно $$3,$$ то число $$3$$ является общим делителем данных чисел.

Если $$k=1,$$ то число $$5$$ является общим делителем данных чисел.

Ответ: $$2, 3, 5$$.