Упр.247 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

247. (МГУ, ВМиК). Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенство $$|2x+a|\leq x+2$$.

Рассмотрим неравенство

$$|2x+a|\le x+2.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит

$$x+2\ge 0.$$

Но удобнее сразу раскрыть модуль по определению:

$$\begin{cases} 2x+a\le x+2,\\ 2x+a\ge -x-2. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем

$$x\le 2-a.$$

Из второго:

$$3x\ge -a-2,$$

то есть

$$x\ge -\dfrac{a+2}{3}.$$

Следовательно, решение существует тогда и только тогда, когда

$$-\dfrac{a+2}{3}\le 2-a.$$

Решим это неравенство:

$$-a-2\le 6-3a$$

$$2a\le 8$$

$$a\le 4.$$

Теперь рассмотрим случаи.

1) Если $$a<4,$$ то

$$-\dfrac{a+2}{3}<2-a,$$

и тогда

$$x\in\left[-\dfrac{a+2}{3},\,2-a\right].$$

2) Если $$a=4,$$ то

$$-\dfrac{a+2}{3}=2-a=-2,$$

поэтому

$$x=-2.$$

3) Если $$a>4,$$ то

$$-\dfrac{a+2}{3}>2-a,$$

и решений нет.

Ответ

$$\begin{cases} a<4, & x\in\left[-\dfrac{a+2}{3},\,2-a\right],\\[6pt] a=4, & x=-2,\\[6pt] a>4, & \text{решений нет}. \end{cases}$$