Упр.246 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$144^{-|2x-1|}-2\cdot12^{|-2x-1|}+12a=0$$ имеет хотя бы один корень.

Подробный ответ

Сделаем замену:

$$t=12^{-\,|2x-1|}, \qquad 0<t\le 1.$$

Тогда

$$144^{-\,|2x-1|}=\left(12^2\right)^{-\,|2x-1|}=12^{-\,2|2x-1|}=t^2,$$

и исходное уравнение принимает вид

$$t^2-2t+12a=0.$$

Нужно, чтобы это уравнение имело хотя бы один корень, удовлетворяющий условию $$0<t\le 1.$$

Рассмотрим дискриминант:

$$D=4-48a.$$

1) Если $$D=0,$$ то

$$4-48a=0 \Rightarrow a=\frac{1}{12}.$$

Тогда

$$t=\frac{2}{2}=1,$$

что подходит.

2) Если корни разные и оба положительны, то для квадратного уравнения нужно:

$$D>0,\qquad t_1+t_2>0,\qquad t_1t_2>0.$$

Здесь

$$t_1+t_2=2>0,$$

$$t_1t_2=12a>0 \Rightarrow a>0.$$

Кроме того,

$$D>0 \Rightarrow 4-48a>0 \Rightarrow a<\frac{1}{12}.$$

Значит, при

$$0<a<\frac{1}{12}$$

уравнение имеет положительные корни, и хотя бы один из них лежит в промежутке $$0<t\le 1.$$

3) Если $$a<0,$$ то произведение корней отрицательно, значит корни разных знаков, и положительный корень существует. Но при $$a<0$$ один из корней обязательно больше 1, а другой отрицателен; при этом подстановка $$t=12^{-\,|2x-1|}$$ даёт только значения из промежутка $$0<t\le 1.$$ Поэтому такие значения $$a$$ не подходят.

Итак, подходят только значения

$$0<a\le \frac{1}{12}.$$