Упр.205 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{|x+6|+\sqrt{1-x}-5}{|x-2|-3\sqrt{x+5}+3}\le 0.$$
Область определения:
$$1-x\ge 0,\quad x+5\ge 0,$$
откуда
$$x\in[-5;1].$$
На этом отрезке имеем:
$$|x+6|=x+6,\qquad |x-2|=2-x.$$
Тогда
$$\frac{x+6+\sqrt{1-x}-5}{2-x-3\sqrt{x+5}+3}\le 0,$$
то есть
$$\frac{x+1+\sqrt{1-x}}{5-x-3\sqrt{x+5}}\le 0.$$
Найдём нули числителя:
$$x+1+\sqrt{1-x}=0.$$
Так как $$\sqrt{1-x}\ge 0,$$ то должно быть $$x\le -1.$$ Возведём в квадрат:
$$1-x=(x+1)^2,$$
$$x^2+3x=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=-3.$$
С учётом условия $$x\le -1$$ получаем только $$x=-3.$$
Найдём нули знаменателя:
$$5-x-3\sqrt{x+5}=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x+5}\ge 0,$$ тогда $$x=t^2-5$$ и
$$10-t^2-3t=0,$$
$$t^2+3t-10=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=-5.$$
Подходит только $$t=2,$$ значит
$$x=2^2-5=-1.$$
Знак дроби на отрезке $$[-5;1]$$ меняется в точках $$x=-3$$ и $$x=-1.$$ Проверка промежутков даёт:
$$x\in[-5;-3]\cup(-1;0).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{|x-3|-2\sqrt{x+4}+1}{|x+5|-2\sqrt{2-x}+1}\le 0.$$
Область определения:
$$x+4\ge 0,\quad 2-x\ge 0,$$
откуда
$$x\in[-4;2].$$
На этом отрезке:
$$|x-3|=3-x,\qquad |x+5|=x+5.$$
Тогда
$$\frac{4-x-2\sqrt{x+4}}{x+6-2\sqrt{2-x}}\le 0.$$
Найдём нули числителя:
$$4-x-2\sqrt{x+4}=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x+4}\ge 0,$$ тогда $$x=t^2-4,$$ и получаем
$$8-t^2-2t=0,$$
$$t^2+2t-8=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=-4.$$
Подходит только $$t=2,$$ значит
$$x=0.$$
Найдём нули знаменателя:
$$x+6-2\sqrt{2-x}=0.$$
Положим $$u=\sqrt{2-x}\ge 0,$$ тогда $$x=2-u^2,$$ и
$$8-u^2-2u=0,$$
$$u^2+2u-8=0,$$
$$u=2 \text{ или } u=-4.$$
Подходит только $$u=2,$$ значит
$$x=-2.$$
Проверка знаков на промежутках, полученных из точек $$-2$$ и $$0,$$ даёт
$$x\in[-4;-2)\cup(0;2].$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{|x+4|-\sqrt{3-x}-1}{|x-4|-\sqrt{x+3}-1}\le 0.$$
Область определения:
$$3-x\ge 0,\quad x+3\ge 0,$$
откуда
$$x\in[-3;3].$$
На этом отрезке:
$$|x+4|=x+4,\qquad |x-4|=4-x.$$
Тогда
$$\frac{x+3-\sqrt{3-x}}{3-x-\sqrt{x+3}}\le 0.$$
Найдём нули числителя:
$$x+3-\sqrt{3-x}=0.$$
Положим $$t=\sqrt{3-x}\ge 0,$$ тогда $$x=3-t^2,$$ и
$$6-t^2-t=0,$$
$$t^2+t-6=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=-3.$$
Подходит только $$t=2,$$ значит
$$x=-1.$$
Найдём нули знаменателя:
$$3-x-\sqrt{x+3}=0.$$
Положим $$u=\sqrt{x+3}\ge 0,$$ тогда $$x=u^2-3,$$ и
$$6-u^2-u=0,$$
$$u^2+u-6=0,$$
$$u=2 \text{ или } u=-3.$$
Подходит только $$u=2,$$ значит
$$x=1.$$
Проверка знаков даёт
$$x\in[-3;-1]\cup[1;3].$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{|x-5|-2\sqrt{x+2}+1}{|x+3|-2\sqrt{4-x}+1}\le 0.$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\quad 4-x\ge 0,$$
откуда
$$x\in[-2;4].$$
На этом отрезке:
$$|x-5|=5-x,\qquad |x+3|=x+3.$$
Тогда
$$\frac{6-x-2\sqrt{x+2}}{x+4-2\sqrt{4-x}}\le 0.$$
Найдём нули числителя:
$$6-x-2\sqrt{x+2}=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x+2}\ge 0,$$ тогда $$x=t^2-2,$$ и
$$8-t^2-2t=0,$$
$$t^2+2t-8=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=-4.$$
Подходит только $$t=2,$$ значит
$$x=2.$$
Найдём нули знаменателя:
$$x+4-2\sqrt{4-x}=0.$$
Положим $$u=\sqrt{4-x}\ge 0,$$ тогда $$x=4-u^2,$$ и
$$8-u^2-2u=0,$$
$$u^2+2u-8=0,$$
$$u=2 \text{ или } u=-4.$$
Подходит только $$u=2,$$ значит
$$x=0.$$
Проверка знаков даёт
$$x\in[-2;0)\cup(2;4].$$
Ответ
а) $$x\in[-5;-3]\cup(-1;0)$$
б) $$x\in[-4;-2)\cup(0;2]$$
в) $$x\in[-3;-1]\cup[1;3]$$
г) $$x\in[-2;0)\cup(2;4]$$
