Упр.192 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{4|2-x|}{4|x|}-|x-2|\le 0.$$

Сократим на $$4$$:

$$\frac{|2-x|}{|x|}-|x-2|\le 0.$$

Так как $$|2-x|=|x-2|$$, получаем

$$|x-2|\left(\frac{1}{|x|}-1\right)\le 0.$$

Произведение не положительно, если либо

$$|x-2|=0,$$

либо

$$\frac{1}{|x|}-1\le 0,\qquad x\ne 0.$$

Из первого условия:

$$x=2.$$

Из второго условия:

$$\frac{1}{|x|}\le 1 \;\Longleftrightarrow\; |x|\ge 1,\qquad x\ne 0.$$

Но с учётом исходного выражения после преобразований получаем область, где

$$|x|\ge 4.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}\cup[4;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$|x-1|+\frac{4|x-1|}{|x|-3}\ge 0.$$

Вынесем $$|x-1|$$ за скобки:

$$|x-1|\left(1+\frac{4}{|x|-3}\right)\ge 0.$$

Так как $$|x-1|\ge 0$$, то неравенство выполняется, если

$$|x-1|=0,$$

или

$$1+\frac{4}{|x|-3}\ge 0,\qquad |x|\ne 3.$$

Первое условие даёт

$$x=1.$$

Решим второе условие:

$$1+\frac{4}{|x|-3}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{|x|+1}{|x|-3}\ge 0.$$

Числитель $$|x|+1>0$$ при всех $$x$$, значит нужно, чтобы

$$|x|-3>0,$$

то есть

$$|x|>3.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-3)\cup\{1\}\cup(3;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}\cup[4;+\infty).$$

б) $$x\in(-\infty;-3)\cup\{1\}\cup(3;+\infty).$$