Упр.16 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Определите, что больше:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\log_{81}\left(\frac{1}{27}\right)$$ или $$\sin\frac{43\pi}{6}\cdot\tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\cdot\ctg\frac{4\pi}{3}$$;
$$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(\log_{5\sqrt{5}}\left(\frac{1}{125}\right)\right)^2$$ или $$\cos^2\frac{31\pi}{6}\cdot\tg\frac{29\pi}{6}\cdot\tg\frac{11\pi}{3}$$.

Подробный ответ

а)

$$\arccos\left(-\frac12\right)\cdot \log_{81}\left(\frac1{27}\right) = \left(\pi-\arccos\frac12\right)\cdot \log_{3^4}(3^{-3})$$
$$= \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\cdot \left(-\frac34\right) = \frac{2\pi}{3}\cdot \left(-\frac34\right) = -\frac{\pi}{2}.$$

$$\sin\frac{43\pi}{6}\cdot \tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\cdot \ctg\frac{4\pi}{3} = \sin\left(8\pi-\frac{5\pi}{6}\right)\cdot \left(-\tg^3\left(3\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot \ctg\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$= \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\cdot \tg^3\frac{\pi}{3}\cdot \ctg\frac{\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{6}\cdot \left(\sqrt3\right)^2 = -\frac12\cdot 3 = -\frac32.$$

Так как $$-\frac32<-\frac{\pi}{2},$$ то больше первое выражение.

б)

$$\operatorname{arctg}\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\cdot \left(\log_{5\sqrt5}\frac1{125}\right)^2 = \left(-\frac{\pi}{6}\right)\cdot \left(\log_{5^{3/2}}5^{-3}\right)^2$$
$$= \left(-\frac{\pi}{6}\right)\cdot (-2)^2 = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}.$$

$$\cos^2\frac{31\pi}{6}\cdot \tg\frac{29\pi}{6}\cdot \tg\frac{11\pi}{3} = \cos^2\left(5\pi+\frac{\pi}{6}\right)\cdot \tg\left(4\pi+\frac{5\pi}{6}\right)\cdot \tg\left(3\pi+\frac{2\pi}{3}\right)$$
$$= \cos^2\frac{\pi}{6}\cdot \tg\frac{5\pi}{6}\cdot \tg\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\cdot \left(-\frac1{\sqrt3}\right)\cdot (-\sqrt3) = \frac34.$$

Так как $$\frac34>-\frac{2\pi}{3},$$ то больше второе выражение.