Упр.162 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$x^3-3x-2<0$$; б) $$x^3-3x^2+4>0$$.

а) Решим неравенство методом интервалов:

$$x^3-3x-2<0$$

Разложим левую часть на множители:

$$x^3-3x-2=(x+1)(x^2-x-2)=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2).$$

Тогда

$$(x+1)^2(x-2)<0.$$

Так как $$(x+1)^2\ge 0$$ при любых $$x$$ и обращается в нуль при $$x=-1$$, знак произведения определяется множителем $$x-2$$. Для отрицательности нужно:

$$x-2<0,\quad x\ne -1.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;2).$$

б) Решим неравенство:

$$x^3-3x^2+4>0$$

Разложим на множители:

$$x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1).$$

Тогда

$$(x-2)^2(x+1)>0.$$

Так как $$(x-2)^2\ge 0$$, то произведение положительно, когда

$$x+1>0,\quad x\ne 2.$$

Получаем

$$x\in(-1;2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1)\cup(-1;2)$$

б) $$(-1;2)\cup(2;+\infty)$$