Упр.142 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_2 \frac{x+2}{5}+\log_2 \frac{5}{x}=1.$$

Область допустимых значений:

$$\frac{x+2}{5}>0,\qquad \frac{5}{x}>0.$$

Отсюда получаем $$x>0.$$

На этой области можно сложить логарифмы:

$$\log_2 \frac{x+2}{5}+\log_2 \frac{5}{x}=\log_2 \left(\frac{x+2}{5}\cdot \frac{5}{x}\right)=\log_2 \frac{x+2}{x}.$$

Тогда

$$\log_2 \frac{x+2}{x}=1,$$

значит

$$\frac{x+2}{x}=2.$$

Решаем уравнение:

$$x+2=2x,$$

$$x=2.$$

Проверка ОДЗ: $$2>0,$$ значит значение подходит.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_2 \frac{x+3}{5}+\log_2 \frac{5}{x+1}=1.$$

Область допустимых значений:

$$\frac{x+3}{5}>0,\qquad \frac{5}{x+1}>0.$$

Отсюда $$x>-1.$$

На этой области:

$$\log_2 \frac{x+3}{5}+\log_2 \frac{5}{x+1}=\log_2 \left(\frac{x+3}{5}\cdot \frac{5}{x+1}\right)=\log_2 \frac{x+3}{x+1}.$$

Тогда

$$\log_2 \frac{x+3}{x+1}=1,$$

значит

$$\frac{x+3}{x+1}=2.$$

Решаем уравнение:

$$x+3=2x+2,$$

$$x=1.$$

Проверка ОДЗ: $$1>-1,$$ значит значение подходит.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=1$$.