Упр.112 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Получаем уравнение

$$\cos 3x-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Отсюда:

$$2x+\frac{\pi}{12}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x-\frac{\pi}{12}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Решаем:

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$