Упр.111 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$\cos x-\cos 2x-\sin 2x=1,\quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right]$$

Преобразуем уравнение:

$$\cos x-\cos 2x+\sin 2x=1$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулами $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$, $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\cos x- (1-2\sin^2 x)+2\sin x\cos x=1$$

$$\cos x+2\sin^2 x+2\sin x\cos x-2=0$$

Удобнее записать исходное уравнение так:

$$\cos x-\sin 2x=1+\cos 2x$$

Тогда

$$\cos x-2\sin x\cos x=2\cos^2 x$$

$$\cos x-2\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

$$\cos x\,(1-2\sin x-2\cos x)=0$$

Отсюда получаем совокупность:

$$\begin{cases} \cos x=0,\\ 1-2\sin x-2\cos x=0. \end{cases}$$

1) $$\cos x=0$$, значит

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{6}\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{2},\ -\frac{3\pi}{2}.$$

2) $$1-2\sin x-2\cos x=0$$, то есть

$$\sin x+\cos x=\frac12.$$

Преобразуем:

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^m\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^m\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}+\pi m.$$

Из этого семейства на заданный промежуток попадают:

$$x=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{1}{2\sqrt2},$$

$$x=-\frac{7\pi}{4}+\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Ответ

$$-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{1}{2\sqrt2},\ -\frac{7\pi}{4}+\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}$$