Упр.9.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$9x+1+\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2}<10\cdot3^{x-1}+\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2};$$

б) $$4x+2+\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}<9\cdot2^{x-1}+\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}.$$

а) Рассмотрим неравенство

$$9^x+1+\ctg\frac{\pi x}{2}<10\cdot 3^{x-1}+\ctg\frac{\pi x}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$9^x-10\cdot 3^{x-1}+1<0.$$

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$9^x=3^{2x}=t^2,$$ а

$$10\cdot 3^{x-1}=\frac{10}{3}\cdot 3^x=\frac{10}{3}t.$$

Получаем:

$$t^2-\frac{10}{3}t+1<0.$$

Умножим на $$3$$:

$$3t^2-10t+3<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=100-36=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}, \quad t_1=\frac13,\; t_2=3.$$

Тогда

$$t\in\left(\frac13,3\right),$$

то есть

$$3^x\in\left(\frac13,3\right).$$

Отсюда

$$x\in(-1,1).$$

Кроме того, должно выполняться условие существования $$\ctg\frac{\pi x}{2}$$:

$$\sin\frac{\pi x}{2}\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne 2k,\; k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$(-1,1)$$ это исключает только $$x=0.$$

Значит,

$$x\in(-1,0)\cup(0,1).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$4^x+2+\tg\frac{\pi x}{2}<9\cdot 2^{x-1}+\tg\frac{\pi x}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4^x-9\cdot 2^{x-1}+2<0.$$

Преобразуем:

$$4^x- \frac{9}{2}\cdot 2^x+2<0.$$

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$4^x=2^{2x}=t^2.$$ Получаем:

$$t^2-\frac{9}{2}t+2<0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2t^2-9t+4<0.$$

Найдём корни:

$$D=81-32=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}, \quad t_1=\frac12,\; t_2=4.$$

Тогда

$$t\in\left(\frac12,4\right),$$

то есть

$$2^x\in\left(\frac12,4\right),$$

откуда

$$x\in(-1,2).$$

Учитываем область определения $$\tg\frac{\pi x}{2}$$:

$$\cos\frac{\pi x}{2}\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne 1+2k,\; k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$(-1,2)$$ исключается точка $$x=1.$$

Следовательно,

$$x\in(-1,1)\cup(1,2).$$

Ответ

а) $$x\in(-1,0)\cup(0,1)$$

б) $$x\in(-1,1)\cup(1,2)$$