Упр.7.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите утверждения: а) об извлечении корня нечетной степени из обеих частей уравнения; б) о логарифмировании показательного уравнения.

а) Пусть $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)=g(x)$$, то есть $$f(x_0)=g(x_0).$$

Тогда обе части уравнения можно извлечь корень нечётной степени $$2n+1$$:

$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)}=\sqrt[2n+1]{g(x_0)}.$$

Значит, число $$x_0$$ является корнем уравнения

$$\sqrt[2n+1]{f(x)}=\sqrt[2n+1]{g(x)}.$$

Докажем обратное. Пусть $$x_0$$ — корень уравнения

$$\sqrt[2n+1]{f(x)}=\sqrt[2n+1]{g(x)}.$$

Тогда

$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)}=\sqrt[2n+1]{g(x_0)}.$$

Возведём обе части в степень $$2n+1$$. Так как степень нечётная, получаем

$$f(x_0)=g(x_0).$$

Следовательно, число $$x_0$$ является корнем исходного уравнения $$f(x)=g(x).$$

Итак, уравнения

$$f(x)=g(x) \quad \text{и} \quad \sqrt[2n+1]{f(x)}=\sqrt[2n+1]{g(x)}$$

равносильны.

б) Пусть $$x_0$$ — корень показательного уравнения

$$a^{f(x)}=a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\ne 1.$$

Тогда при одинаковом основании и условии $$a>0,\ a\ne 1$$ равенство степеней возможно только при равенстве показателей:

$$f(x_0)=g(x_0).$$

Значит, число $$x_0$$ является корнем уравнения $$f(x)=g(x).$$

Докажем обратное. Пусть $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)=g(x),$$ то есть

$$f(x_0)=g(x_0).$$

Тогда

$$a^{f(x_0)}=a^{g(x_0)}.$$

Следовательно, число $$x_0$$ является корнем уравнения

$$a^{f(x)}=a^{g(x)}.$$

Итак, уравнения

$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \quad \text{и} \quad f(x)=g(x)$$

равносильны при $$a>0,\ a\ne 1.$$

Ответ

Уравнения $$f(x)=g(x)$$ и $$\sqrt[2n+1]{f(x)}=\sqrt[2n+1]{g(x)}$$ равносильны; уравнения $$a^{f(x)}=a^{g(x)}$$ и $$f(x)=g(x)$$ равносильны при $$a>0,\ a\ne 1.$$