Упр.6.88 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Точка движется по оси $$x$$ со скоростью: а) $$v=3$$; б) $$v=a$$; в) $$v=2t$$; г) $$v=at$$; д) $$v=\cos t$$; е) $$v=et$$. Найдите возможные законы движения точки. Определите среди этих законов тот, для которого $$x=0$$ при $$t=0$$, а также тот, для которого $$x=1$$ при $$t=1$$.
Закон движения связан со скоростью формулой
$$x(t)=\int v(t)\,dt+C.$$
Найдём общий вид закона движения для каждого случая и подберём константу по условиям.
а) $$v=3$$
$$x(t)=\int 3\,dt=3t+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$C=0$$, значит
$$x(t)=3t.$$
Если $$x(1)=1$$, то $$3+C=1$$, откуда $$C=-2$$. Тогда
$$x(t)=3t-2.$$
б) $$v=a$$
$$x(t)=\int a\,dt=at+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$C=0$$, значит
$$x(t)=at.$$
Если $$x(1)=1$$, то $$a+C=1$$, откуда $$C=1-a$$. Тогда
$$x(t)=at+1-a=a(t-1)+1.$$
в) $$v=2t$$
$$x(t)=\int 2t\,dt=t^2+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$C=0$$, значит
$$x(t)=t^2.$$
Если $$x(1)=1$$, то $$1+C=1$$, откуда $$C=0$$. Снова получаем
$$x(t)=t^2.$$
г) $$v=at$$
$$x(t)=\int at\,dt=\frac{at^2}{2}+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$C=0$$, значит
$$x(t)=\frac{at^2}{2}.$$
Если $$x(1)=1$$, то
$$\frac{a}{2}+C=1,$$
откуда $$C=1-\frac{a}{2}$$. Тогда
$$x(t)=\frac{at^2}{2}+1-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}(t^2-1)+1.$$
д) $$v=\cos t$$
$$x(t)=\int \cos t\,dt=\sin t+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$C=0$$, значит
$$x(t)=\sin t.$$
Если $$x(1)=1$$, то $$\sin 1+C=1$$, откуда $$C=1-\sin 1$$. Тогда
$$x(t)=\sin t+1-\sin 1.$$
е) $$v=e^t$$
$$x(t)=\int e^t\,dt=e^t+C.$$
Если $$x(0)=0$$, то $$1+C=0$$, откуда $$C=-1$$. Значит
$$x(t)=e^t-1.$$
Если $$x(1)=1$$, то $$e+C=1$$, откуда $$C=1-e$$. Тогда
$$x(t)=e^t+1-e.$$
Ответ
а) $$x(t)=3t$$ или $$x(t)=3t-2$$;
б) $$x(t)=at$$ или $$x(t)=at+1-a$$;
в) $$x(t)=t^2$$;
г) $$x(t)=\dfrac{at^2}{2}$$ или $$x(t)=\dfrac{a}{2}(t^2-1)+1$$;
д) $$x(t)=\sin t$$ или $$x(t)=\sin t+1-\sin 1$$;
е) $$x(t)=e^t-1$$ или $$x(t)=e^t+1-e$$.
