Упр.6.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Верно ли, что если функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$, то и функция $$F(x)+C$$ есть первообразная для функции $$f(x)$$?

Да, верно. Если $$F(x)$$ — первообразная для функции $$f(x)$$, то по определению

$$F'(x)=f(x).$$

Рассмотрим функцию $$F(x)+C$$, где $$C$$ — произвольная постоянная. Тогда

$$\bigl(F(x)+C\bigr)’=F'(x)+C’=f(x)+0=f(x).$$

Значит, функция $$F(x)+C$$ тоже является первообразной для функции $$f(x)$$.

Ответ

Да, верно: если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то и $$F(x)+C$$ — первообразная для $$f(x)$$ при любом постоянном $$C$$.