Упр.6.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx$$; б) $$\int 5x\sqrt{1+4x^2}\,dx$$; в) $$\int x\sqrt{41+x^2}\,dx$$; г) $$\int x\sqrt{9+x^2}\,dx$$.

Во всех пунктах используем подстановку вида $$t=a+x^2,$$ тогда $$dt=2x\,dx,$$ то есть $$x\,dx=\frac12\,dt.$$

1. $$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx$$

   Положим $$t=1+x^2,$$ тогда $$dt=2x\,dx.$$ Получаем

   $$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx =\frac12\int t^{1/2}\,dt =\frac12\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}+C =\frac13\,t^{3/2}+C.$$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем

   $$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac13(1+x^2)\sqrt{1+x^2}+C.$$

2. $$\int 5x\sqrt{1+4x^2}\,dx$$

   Положим $$t=1+4x^2,$$ тогда $$dt=8x\,dx,$$ значит $$x\,dx=\frac18\,dt.$$ Тогда

   $$\int 5x\sqrt{1+4x^2}\,dx =\frac58\int t^{1/2}\,dt =\frac58\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}+C =\frac{5}{12}\,t^{3/2}+C.$$

   Следовательно,

   $$\int 5x\sqrt{1+4x^2}\,dx=\frac{5}{12}(1+4x^2)\sqrt{1+4x^2}+C.$$

3. $$\int x\sqrt{4+x^2}\,dx$$

   Положим $$t=4+x^2,$$ тогда $$dt=2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=\frac12\,dt.$$ Получаем

   $$\int x\sqrt{4+x^2}\,dx =\frac12\int t^{1/2}\,dt =\frac12\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}+C =\frac13\,t^{3/2}+C.$$

   Итак,

   $$\int x\sqrt{4+x^2}\,dx=\frac13(4+x^2)\sqrt{4+x^2}+C.$$

4. $$\int x\sqrt{9+x^2}\,dx$$

   Положим $$t=9+x^2,$$ тогда $$dt=2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=\frac12\,dt.$$ Тогда

   $$\int x\sqrt{9+x^2}\,dx =\frac12\int t^{1/2}\,dt =\frac12\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}+C =\frac13\,t^{3/2}+C.$$

   Следовательно,

   $$\int x\sqrt{9+x^2}\,dx=\frac13(9+x^2)\sqrt{9+x^2}+C.$$

Ответ

а) $$\frac13(1+x^2)\sqrt{1+x^2}+C$$; б) $$\frac{5}{12}(1+4x^2)\sqrt{1+4x^2}+C$$; в) $$\frac13(4+x^2)\sqrt{4+x^2}+C$$; г) $$\frac13(9+x^2)\sqrt{9+x^2}+C$$.