Упр.5.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$y=\sqrt[3]{x},\quad [-1;1]$$;
• б) $$y=\sqrt[5]{x},\quad [-2;2]$$;
• в) $$y=4\sqrt{x}-x,\quad (0;5]$$;
• г) $$y=2\sqrt{x}-x,\quad (0;2]$$.

1. а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}, \quad [-1;1].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

   Производная не существует при $$x=0$$, а равенство $$f'(x)=0$$ не имеет решений. Значит, единственная критическая точка на отрезке $$[-1;1]$$ — это $$x=0$$.

2. б) $$f(x)=\sqrt[5]{x}, \quad [-2;2].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}.$$

   Производная не существует при $$x=0$$, а уравнение $$f'(x)=0$$ решений не имеет. Следовательно, критическая точка одна: $$x=0$$.

3. в) $$f(x)=4\sqrt{x}-x, \quad (0;5].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1.$$

   Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

   $$\frac{2}{\sqrt{x}}-1=0 \\ \frac{2}{\sqrt{x}}=1 \\ \sqrt{x}=2 \\ x=4.$$

   Точка $$x=0$$ не входит в область определения, так как промежуток задан как $$(0;5]$$. Поэтому критическая точка на данном промежутке одна: $$x=4$$.

4. г) $$f(x)=2\sqrt{x}-x, \quad (0;2].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$

   Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0 \\ \frac{1}{\sqrt{x}}=1 \\ \sqrt{x}=1 \\ x=1.$$

   Точка $$x=0$$ не принадлежит промежутку $$(0;2]$$, поэтому критическая точка одна: $$x=1$$.

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$4$$; г) $$1$$.