Упр.4.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$f(x)=x^2$$.
   а) Найдите производную в любой точке $$x\in\mathbb{R}$$.
   б) Вычислите значение производной в точках $$x=0$$; $$x=1$$; $$x=-1$$; $$x=2$$; $$x=-2$$; $$x=3$$; $$x=-3$$.
   в) При каком значении $$x$$ производная равна: $$0$$; $$1$$; $$3$$?

Дана функция $$f(x)=x^2.$$ Найдём её производную по правилу:

$$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}.$$

Тогда

$$f'(x)=(x^2)’=2x.$$

Теперь подставим нужные значения:

$$f'(0)=2\cdot 0=0,$$

$$f'(1)=2\cdot 1=2,$$

$$f'(-1)=2\cdot(-1)=-2,$$

$$f'(2)=2\cdot 2=4,$$

$$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4,$$

$$f'(3)=2\cdot 3=6,$$

$$f'(-3)=2\cdot(-3)=-6.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ производная равна заданным числам:

1) $$2x=0 \Rightarrow x=0;$$

2) $$2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2};$$

3) $$2x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{2}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=2x.$$

б) $$f'(0)=0,\ f'(1)=2,\ f'(-1)=-2,\ f'(2)=4,\ f'(-2)=-4,\ f'(3)=6,\ f'(-3)=-6.$$

в) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)=1$$ при $$x=\frac{1}{2}$$; $$f'(x)=3$$ при $$x=\frac{3}{2}.$$