Упр.4.73 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите производную данной функции:
   а) $$y=\arccos(\pi x),\quad x\in\left(-\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi}\right);$$
   б) $$y=\arctg x^3,\quad x\in\mathbb{R};$$
   в) $$y=\arcsin 5x,\quad x\in\left(-\frac{1}{5};\frac{1}{5}\right);$$
   г) $$y=(\operatorname{arcctg}3x)^5,\quad x\in\mathbb{R};$$
   д) $$y=\arccos(-2x),\quad x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right);$$
   е) $$y=(\arcsin 4x)^5,\quad x\in\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right).$$

1. $$y=\arccos(\pi x)$$

   Используем формулу $$\left(\arccos u\right)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}$$:

   $$y’=-\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2x^2}}$$

2. $$y=\arctg(x^3)$$

   По формуле $$\left(\arctg u\right)’=\frac{u’}{1+u^2}$$ получаем:

   $$y’=\frac{3x^2}{1+x^6}$$

3. $$y=\arcsin(5x)$$

   По формуле $$\left(\arcsin u\right)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}$$:

   $$y’=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$$

4. $$y=\left(\arcctg(3x)\right)^5$$

   Применим правило степени и формулу $$\left(\arcctg u\right)’=-\frac{u’}{1+u^2}$$:

   $$y’=5\left(\arcctg(3x)\right)^4\cdot\left(-\frac{3}{1+9x^2}\right)=-\frac{15\left(\arcctg(3x)\right)^4}{1+9x^2}$$

5. $$y=\arccos(-2x)$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{-2}{\sqrt{1-(-2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$$

6. $$y=\left(\arcsin(4x)\right)^5$$

   По правилу цепочки:

   $$y’=5\left(\arcsin(4x)\right)^4\cdot \frac{4}{\sqrt{1-(4x)^2}}=\frac{20\left(\arcsin(4x)\right)^4}{\sqrt{1-16x^2}}$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=-\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2x^2}}; \\ &\text{б) } y’=\frac{3x^2}{1+x^6}; \\ &\text{в) } y’=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}; \\ &\text{г) } y’=-\frac{15\left(\arcctg(3x)\right)^4}{1+9x^2}; \\ &\text{д) } y’=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}; \\ &\text{е) } y’=\frac{20\left(\arcsin(4x)\right)^4}{\sqrt{1-16x^2}}. \end{aligned}$$