Упр.4.71 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите производную функции $$y=f(x)$$, используя производную обратной к ней функции $$x=\varphi(y)$$:
   а) $$y=\sqrt{x},\quad x\in(0;+\infty),\quad x=y^2,\quad y\in(0;+\infty)$$;
   б) $$y=-\sqrt{x},\quad x\in(0;+\infty),\quad x=y^2,\quad y\in(-\infty;0)$$;
   в) $$y=\ln x,\quad x\in(0;+\infty),\quad x=e^y,\quad y\in\mathbb{R}$$.

Используем формулу для производной обратной функции:

$$f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)},$$

где $$x=\varphi(y)$$ — функция, обратная к $$y=f(x)$$.

1. Если $$y=\sqrt{x}$$, то обратная функция имеет вид $$x=y^2$$, где $$y\in(0;+\infty)$$.

   Тогда

   $$x’=2y,$$

   и потому

   $$y’=\frac{1}{2y}.$$

   Так как $$y=\sqrt{x},$$ получаем

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

2. Если $$y=-\sqrt{x}$$, то обратная функция также задаётся формулой $$x=y^2,$$ но теперь $$y\in(-\infty;0)$$.

   Тогда

   $$x’=2y,$$

   и

   $$y’=\frac{1}{2y}.$$

   Подставляя $$y=-\sqrt{x},$$ получаем

   $$y’=\frac{1}{2(-\sqrt{x})}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

3. Если $$y=\ln x,$$ то обратная функция имеет вид $$x=e^y,$$ где $$y\in\mathbb{R}$$.

   Тогда

   $$x’=e^y,$$

   и значит

   $$y’=\frac{1}{e^y}.$$

   Так как $$y=\ln x,$$ то $$e^y=x,$$ следовательно

   $$y’=\frac{1}{x}.$$

Ответ

а) $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$; б) $$y’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$; в) $$y’=\frac{1}{x}$$.